Formation MATLAB - Calcul numérique et optimisation

Résoudre des problèmes scientifiques complexes

Les méthodes numériques occupent une place essentielle dans les domaines de l'ingénierie, des sciences et de la recherche. Elles permettent de résoudre des problèmes mathématiques pour lesquels une solution analytique n'est pas toujours disponible ou directement exploitable.

MATLAB propose un environnement particulièrement adapté à ces besoins grâce à ses fonctions de calcul matriciel, de résolution numérique, d'approximation et d'optimisation.

Cependant, l'utilisation d'un solveur ne suffit pas à garantir la pertinence d'un résultat. Il est également nécessaire de comprendre les méthodes employées, d'identifier leurs limites et d'évaluer les erreurs numériques.

Cette formation aborde les principales difficultés rencontrées dans les calculs scientifiques :

• Précision numérique : comprendre les erreurs d'arrondi et leurs conséquences sur les résultats.
• Stabilité : identifier les problèmes de conditionnement et choisir des méthodes adaptées.
• Résolution numérique : exploiter les fonctions MATLAB pour résoudre des équations et des systèmes.
• Optimisation : rechercher les paramètres minimisant une fonction objectif.
• Validation : contrôler les résultats à l'aide de résidus, de tolérances et de comparaisons numériques.

En 3 jours, cette formation vous permettra de :

• Résoudre des systèmes linéaires et analyser la qualité des solutions.
• Mettre en œuvre des méthodes d'approximation et d'intégration numérique.
• Résoudre des équations non linéaires et différentielles.
• Formuler et résoudre des problèmes simples d'optimisation.
• Comparer différentes méthodes et interpréter leurs résultats.
• Développer un programme MATLAB de calcul scientifique fiable.

Les notions sont étudiées à partir de problèmes mathématiques et de situations d'ingénierie, avec une place importante accordée aux travaux pratiques.

À l'issue de la formation, le participant sera capable de :

1. Identifier les principales sources d'erreurs numériques et leurs effets.
2. Résoudre des systèmes linéaires en évaluant leur conditionnement et leurs résidus.
3. Utiliser les méthodes d'approximation et de moindres carrés.
4. Résoudre numériquement des équations non linéaires.
5. Effectuer des intégrations numériques en contrôlant les tolérances.
6. Résoudre des équations différentielles ordinaires à l'aide des solveurs MATLAB.
7. Formuler une fonction objectif et réaliser une optimisation numérique.
8. Interpréter les critères de convergence et vérifier la cohérence des résultats.
9. Réaliser une étude numérique complète à partir d'un problème scientifique.

Professionnels utilisant MATLAB pour des travaux de calcul, de modélisation ou d'analyse scientifique :

• Ingénieurs en calcul et simulation numérique.
• Ingénieurs R&D et bureaux d'études.
• Chercheurs et scientifiques développant des modèles mathématiques.
• Ingénieurs en mathématiques appliquées.
• Développeurs scientifiques souhaitant approfondir les méthodes numériques.
• Techniciens supérieurs disposant des prérequis mathématiques nécessaires.

Avancé

En MATLAB :

• Maîtriser les scripts et les fonctions.
• Savoir manipuler les vecteurs et matrices.
• Connaître les opérations matricielles et les fonctions anonymes.
• Savoir représenter graphiquement des résultats.
• Être capable de développer et exécuter un programme MATLAB.

En mathématiques :

• Connaître les notions fondamentales d'algèbre linéaire : matrices, systèmes linéaires, valeurs propres.
• Maîtriser les notions élémentaires d'analyse : dérivées, intégrales et fonctions continues.
• Posséder des notions sur les équations différentielles ordinaires.
• Comprendre le principe d'une minimisation de fonction.

Une expérience préalable en calcul numérique constitue un avantage.

Un questionnaire de positionnement peut être proposé avant la formation.

• Évaluer les erreurs et les limites d'un calcul numérique.
• Résoudre des systèmes linéaires avec les outils adaptés de MATLAB.
• Exploiter les matrices creuses lorsque cela est pertinent.
• Effectuer des approximations par moindres carrés et des interpolations.
• Résoudre des équations non linéaires.
• Réaliser des intégrations numériques.
• Utiliser les solveurs d'équations différentielles.
• Définir et minimiser une fonction objectif.
• Contrôler les tolérances et les critères d'arrêt.
• Comparer les performances et la qualité numérique des solutions.

La formation porte sur les méthodes numériques fondamentales et leur application avec MATLAB.

Elle couvre la résolution de systèmes linéaires, l'approximation de données, les équations non linéaires, l'intégration numérique, les équations différentielles ordinaires et l'optimisation sans contraintes.

Les travaux pratiques utilisent les fonctionnalités natives de MATLAB.

Les méthodes avancées d'optimisation sous contraintes, les problèmes aux dérivées partielles, les éléments finis, le calcul parallèle et les outils spécialisés de simulation sont exclus du programme.

La formation ne nécessite ni Simulink ni toolbox supplémentaire obligatoire.

3 jours (21 heures).

• Inter-entreprise : formation à distance, selon le calendrier des sessions proposées.
• Intra-entreprise : formation à distance ou dans vos locaux, pour un groupe de 8 participants maximum.

JOUR 1 - Calcul matriciel, stabilité et approximation numérique (7 h)

1. Comprendre les enjeux du calcul numérique (1 h 30)

• Identifier les principales familles de problèmes numériques.
• Comprendre les limites de la représentation des nombres en virgule flottante.
• Distinguer erreurs absolues et relatives.
• Étudier la propagation des erreurs d'arrondi.
• Comprendre les notions de stabilité numérique et de conditionnement.
• Identifier les effets de la précision machine.
• Introduire les notions de convergence et de tolérance.

Travaux pratiques : comparer plusieurs calculs mathématiquement équivalents afin d'observer les effets des erreurs numériques et des problèmes de conditionnement.

2. Résoudre des systèmes linéaires et analyser les solutions (2 h 30)

• Formuler un problème sous la forme Ax = b.
• Rappeler les principes des factorisations LU et QR.
• Utiliser l'opérateur de résolution \ de MATLAB.
• Comprendre pourquoi il faut généralement éviter le calcul explicite de l'inverse.
• Analyser le conditionnement avec cond et rcond.
• Calculer et interpréter les résidus.
• Découvrir les matrices creuses avec sparse.
• Comparer les méthodes de résolution selon la nature du système.
• Identifier les systèmes mal conditionnés et les résultats sensibles aux perturbations.

Travaux pratiques : résoudre plusieurs systèmes linéaires, comparer les résultats et analyser l'influence du conditionnement et des perturbations sur les solutions obtenues.

3. Approximer des données et résoudre des problèmes de moindres carrés (3 h)

• Comprendre les principes de l'interpolation et de l'approximation.
• Distinguer interpolation exacte et ajustement.
• Utiliser interp1 pour interpoler des données.
• Réaliser un ajustement polynomial avec polyfit et polyval.
• Comprendre le principe des moindres carrés linéaires.
• Formuler un problème d'ajustement sous forme matricielle.
• Résoudre un système surdéterminé avec l'opérateur \.
• Introduire lsqminnorm pour les problèmes nécessitant une solution de norme minimale.
• Évaluer les résidus et les erreurs d'approximation.
• Identifier les limites des polynômes de degré élevé et les risques de mauvais conditionnement.

Travaux pratiques : ajuster un modèle à partir d'un jeu de mesures, comparer plusieurs méthodes d'approximation et analyser les erreurs obtenues.

JOUR 2 - Équations non linéaires et méthodes d'intégration (7 h)

4. Résoudre des équations non linéaires (2 h)

• Comprendre le problème de recherche de racines.
• Étudier le principe des méthodes de dichotomie et de Newton.
• Identifier les conditions de convergence.
• Exploiter fzero pour résoudre une équation scalaire.
• Choisir un intervalle ou une estimation initiale.
• Interpréter les critères d'arrêt.
• Identifier les situations de non-convergence.
• Comparer une implémentation pédagogique avec le solveur MATLAB.

Travaux pratiques : résoudre une équation non linéaire issue d'un problème physique simple, puis étudier la sensibilité du résultat aux paramètres initiaux.

5. Réaliser des intégrations numériques (2 h)

• Comprendre le principe des méthodes de quadrature.
• Présenter les méthodes des rectangles, trapèzes et Simpson.
• Approcher une intégrale à partir de valeurs discrètes avec trapz.
• Exploiter integral pour intégrer une fonction continue.
• Découvrir les principes de l'intégration adaptative.
• Contrôler les tolérances absolues et relatives.
• Comparer les résultats avec une solution analytique lorsqu'elle existe.
• Identifier les difficultés liées aux singularités et aux fonctions fortement variables.

Travaux pratiques : calculer numériquement plusieurs intégrales et comparer la précision des résultats selon la méthode et les paramètres retenus.

6. Résoudre des équations différentielles ordinaires (3 h)

• Comprendre la formulation d'un problème à valeur initiale.
• Présenter les principes de la méthode d'Euler et des méthodes de Runge-Kutta.
• Définir une fonction représentant le système différentiel.
• Utiliser ode45 pour résoudre un problème non raide.
• Exploiter les résultats du solveur et les représenter graphiquement.
• Définir les tolérances avec odeset.
• Étudier l'influence des paramètres numériques.
• Introduire la notion de système raide et le rôle de ode15s.
• Vérifier les résultats à l'aide de solutions de référence ou de propriétés connues du modèle.

Travaux pratiques : résoudre un modèle dynamique simple, analyser l'évolution temporelle de ses variables et comparer les résultats obtenus avec différentes tolérances.

JOUR 3 - Optimisation numérique et validation des calculs (7 h)

7. Formuler et analyser un problème d'optimisation (1 h 30)

• Comprendre la différence entre recherche de racines et optimisation.
• Définir une fonction objectif.
• Identifier les variables et les paramètres d'optimisation.
• Distinguer minimum local et minimum global.
• Comprendre le rôle d'une estimation initiale.
• Présenter les principes des méthodes de recherche directe.
• Étudier les critères d'arrêt et les tolérances.
• Interpréter les indicateurs de convergence.

Travaux pratiques : représenter une fonction objectif, identifier ses minima et analyser l'influence de son point de départ sur la recherche d'une solution.

8. Mettre en œuvre des méthodes d'optimisation dans MATLAB (2 h)

• Utiliser fminbnd pour minimiser une fonction d'une variable sur un intervalle.
• Exploiter fminsearch pour une optimisation locale sans contraintes à plusieurs variables.
• Définir les fonctions objectifs avec des fonctions anonymes.
• Configurer les paramètres de résolution avec optimset.
• Récupérer et interpréter les valeurs de sortie des solveurs.
• Analyser les itérations et les causes d'arrêt.
• Comparer différents points de départ.
• Vérifier la cohérence des solutions.
• Comprendre les limites des méthodes locales.

Travaux pratiques : minimiser plusieurs fonctions tests, comparer les comportements des solveurs et étudier l'influence des paramètres numériques.

9. Projet de synthèse - Estimation de paramètres d'un modèle scientifique (3 h 30)

À partir de données expérimentales et d'un modèle mathématique fourni, les participants développent un programme MATLAB permettant d'estimer les paramètres du modèle et de vérifier la qualité des résultats.

Travaux à réaliser :

• Importer et examiner un jeu de données numériques.
• Définir le modèle mathématique à ajuster.
• Construire une fonction objectif fondée sur les écarts entre modèle et observations.
• Choisir les paramètres initiaux.
• Résoudre le problème d'optimisation avec fminsearch.
• Interpréter les indicateurs de convergence.
• Étudier la sensibilité aux paramètres initiaux.
• Comparer les résultats aux observations.
• Calculer et représenter les résidus.
• Organiser les calculs en fonctions MATLAB réutilisables.
• Présenter et justifier les résultats obtenus.

Travaux pratiques : réaliser une étude numérique complète d'identification de paramètres, puis évaluer la pertinence des résultats et les limites de la méthode.

Livrable : un programme MATLAB documenté, accompagné des résultats numériques, des représentations graphiques et d'une analyse de la qualité de l'ajustement.

La formation associe explications mathématiques, démonstrations MATLAB, exercices de calcul et travaux pratiques sur des problèmes scientifiques.

Les notions sont introduites à partir de modèles simples avant d'être appliquées à des situations plus proches des pratiques professionnelles.

Les participants apprennent à utiliser les solveurs numériques, mais aussi à interpréter les résultats, identifier les limites des méthodes et contrôler les erreurs.

Les travaux pratiques privilégient la compréhension des méthodes, la comparaison de solutions et la validation numérique.

Un projet de synthèse permet de mobiliser les compétences acquises dans une démarche complète de calcul et d'optimisation.

• Questionnaire de positionnement initial.
• Exercices de résolution numérique.
• Comparaison et analyse des résultats obtenus.
• Vérification des erreurs, résidus et critères de convergence.
• Projet pratique de synthèse.
• Bilan final des compétences acquises.

L'évaluation porte sur la formulation des problèmes, le choix des méthodes, l'utilisation appropriée des fonctions MATLAB et la capacité à interpréter et valider les résultats.

Logiciel :

• MATLAB R2026b ou version ultérieure compatible.
• Éditeur MATLAB et Live Editor.
• Bibliothèque mathématique standard.

Algèbre linéaire et approximation :

• mldivide (\), lu, qr, cond, rcond, sparse.
• interp1, polyfit, polyval, lsqminnorm.

Résolution numérique :

• fzero, trapz, integral.
• ode45, ode15s, odeset.

Optimisation :

• fminbnd, fminsearch, optimset.

Validation :

• Fonctions de calcul des normes et résidus.
• Outils de représentation graphique.
• Mesures ponctuelles avec timeit si nécessaire.

L'ensemble du programme est conçu autour des fonctions de MATLAB de base, sans obligation de disposer d'Optimization Toolbox, de Symbolic Math Toolbox ou d'autres produits complémentaires.

Le choix des exercices, les versions et les moyens techniques sont précisés lors de la préparation de la session.

En intra-entreprise comme en inter-entreprise, deux modalités peuvent être envisagées :

• Budget direct : financement par l'entreprise ou le participant.
• Portage Qualiopi : réalisation par l'intermédiaire d'un organisme partenaire certifié, selon les conditions d'éligibilité et l'accord du partenaire.

Les modalités de financement sont définies selon les besoins de l'entreprise et le contexte de la session.

Vous souhaitez maîtriser les méthodes numériques et exploiter MATLAB pour résoudre vos problèmes scientifiques ?

Contactez-moi pour étudier vos besoins et organiser une formation adaptée à vos applications professionnelles.