Ce que vous allez apprendre
- Distinguer opérateur, opérande, opération unaire et binaire.
- Relier quotient et reste à une division euclidienne.
- Traduire les opérations scalaires en Python et MATLAB.
Prérequis. Savoir lire une valeur et une affectation.
Combien de boîtes complètes ?
Répartir 17 objets dans des boîtes de capacité 5 pose deux questions : combien de boîtes peut-on remplir et combien d’objets restent-ils ? La division ordinaire donne 3,4 ; elle ne donne pas directement ces deux réponses entières.
Opérateurs, opérandes et domaine
Un opérateur indique une opération ; ses opérandes sont les valeurs utilisées.
Dans 17 - 5, la soustraction est binaire : deux opérandes. Dans -5, le
signe moins est unaire : un seul opérande. Binaire ne désigne pas ici une base de numération.
Le domaine indique les valeurs autorisées. Nous travaillons ici sur des nombres scalaires (une seule valeur), avec un dividende entier non négatif et un diviseur entier strictement positif. Diviser par zéro est exclu.
| Opération | Python | MATLAB | Résultat |
|---|---|---|---|
| Addition | 17 + 5 | 17 + 5 | 22 |
| Soustraction | 17 - 5 | 17 - 5 | 12 |
| Multiplication | 17 * 5 | 17 * 5 | 85 |
| Division ordinaire | 17 / 5 | 17 / 5 | 3,4 |
| Quotient entier | 17 // 5 | floor(17 / 5) | 3 |
| Reste (modulo) | 17 % 5 | mod(17, 5) | 2 |
| Puissance | 2 ** 3 | 2 ^ 3 | 8 |
Une puissance 2³ multiplie trois facteurs égaux à 2. En Python,
^
ne calcule pas une puissance : il réalise un OU exclusif sur les bits d’entiers.
Définir le quotient et le reste
Pour des entiers n ≥ 0 et d > 0, la division euclidienne détermine les entiers q et
r tels que n = q × d + r et 0 ≤ r < d. Ici, 17 = 3 × 5 + 2. Dans notre
pseudo-code, floor_divide donne q et MOD donne r.
Pour des nombres négatifs, les conventions comptent : Python arrondit // vers moins l’infini. Ainsi
-7 // 3
vaut -3 et -7 % 3 vaut 2. floor(-7 / 3) et
mod(-7, 3)
donnent ici les mêmes résultats en MATLAB. Tronquer vers zéro donnerait un autre quotient.
Calculer puis reconstituer
// example.pseudo
// divide_items
items <- 17
capacity <- 5
quotient <- floor_divide(items, capacity)
remainder <- items MOD capacity
PRINT quotient, remainder
PRINT 2 * 2 * 2# divide_items.py
items = 17
capacity = 5
quotient = items // capacity
remainder = items % capacity
print(quotient, remainder)
print(2 ** 3)% divide_items.m
items = 17;
capacity = 5;
quotient = floor(items / capacity);
remainder = mod(items, capacity);
disp([quotient, remainder]);
disp(2 ^ 3);Le résultat attendu est 3 boîtes complètes, 2 objets restants, puis 8 pour la puissance. En MATLAB,
floor
arrondit vers le bas ; mod calcule le reste. Les crochets rassemblent les deux nombres pour les
afficher sur une ligne.
Prédire les cas frontières
Remplacez 17 successivement par 0, 4, 5 et 6. Prévoyez les couples (q, r) : (0, 0), (0, 4), (1, 0), (1, 1). Exécutez puis vérifiez la reconstruction et les bornes du reste. À 5 exactement, le quotient augmente et le reste revient à zéro.
Choisir et expliquer une opération
Quel calcul teste si un entier non négatif est pair ?
Son reste modulo 2 vaut zéro. Un entier est pair lorsqu’il peut être écrit comme deux fois un entier. Pour 18, le reste est 0 ; pour 17, il est 1.
Pourquoi 17 / 5 ne suffit-il pas pour compter les boîtes pleines ?
Il produit 3,4, alors que le contrat demande un nombre entier de boîtes complètes. Il faut le quotient entier 3 et, si nécessaire, le reste 2.
À retenir - fiche mémo
- Opérande
- Une valeur sur laquelle agit un opérateur ; un opérateur unaire en utilise une, un binaire deux.
- Division euclidienne
- Pour n ≥ 0 et d > 0, n = q × d + r avec 0 ≤ r < d.
- Puissance
- Python écrit ** ; MATLAB écrit ^ pour les scalaires.
Pseudo-code // example.pseudo
// divide_items
quotient <- floor_divide(17, 5)
remainder <- 17 MOD 5Point de vigilance. Python // arrondit vers moins l’infini, pas vers zéro.
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